Su-Schrieffer-Heeger (SSH) model

Orbifold

Last updated on Jan 27, 2024 4 min read

SSH 模型：带有交错电子跃迁强度的双原子链，如下图所示：

只考虑电子跃迁而忽略电子电子相互作用，紧束缚模型给出的Hamiltonian如下：

$\hat{H} = ν \sum_{m = 1}^{N} (| m, B ⟩ ⟨ m, A | + h . c .) + w \sum_{m = 1}^{N - 1} (| m + 1, A ⟩ ⟨ m, B | + h . c .) .$

其中 $| m, α ⟩, m = 1, 2 \dots, N, α = A, B$ 标记格点，而 $ν, ω$ 标记跃迁强度，通过重定义态矢相位取正实数。

一维链模型总带边界，但我们更关心体（bulk）的性质，如在热力学极限系统的性质总是与边界条件选取无关。取周期性边界条件，bulk Hamiltonian为:

{\hat{H}}_{bulk} = \sum_{m = 1}^{N} (ν | m, B ⟩ ⟨ m, A | + ω | (m mod N) + 1, A ⟩ ⟨ m, B |) + h . c .

薛定谔方程为：

${\hat{H}}_{bulk} | Ψ_{n} (k) ⟩ = E_{n} (k) | Ψ_{n} (k) ⟩$

为了求解bulk的本征波函数，我们利用Bloch定理，对位置 $m$ 进行傅里叶变换：

| k ⟩ = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{m = 1}^{N} e^{i m k} | m ⟩, for k \in {δ_{k}, 2 δ_{k}, \dots, N δ_{k}} with δ_{k} = \frac{2 π}{N},

其中 $k$ 仅在第一布里渊区取值，Bloch波函数为动量基底 $| k ⟩$ 与原子基底 $| α ⟩$ 的张量积：

$| Ψ_{n} (k) ⟩ = | k ⟩ \otimes | u_{n} (k) ⟩; | u_{n} (k) ⟩ = a_{n} (k) | A ⟩ + b_{n} (k) | B ⟩ .$

我们引入bulk动量空间哈密顿量 $\hat{H} (k)$ 使得 $| u_{n} (k) ⟩$ 构成其本征态：

\hat{H} (k) = ⟨ k | {\hat{H}}_{bulk} | k ⟩ = \sum_{α, β \in {A, B}} ⟨ k, α | H_{bulk} | k, β ⟩ \cdot | α ⟩ ⟨ β |;

\hat{H} (k) | u_{n} (k) ⟩ = E_{n} (k) | u_{n} (k) ⟩

坐标空间的晶格平移对称性在动量空间表现为：

$\hat{H} (k + 2 π) = \hat{H} (k); | u_{n} (k + 2 π) ⟩ = | u_{n} (k) ⟩$

不难求得 $\hat{H} (k)$ ：

H (k) = (\begin{matrix} 0 & v + w e^{- i k} \\ v + w e^{i k} & 0 \end{matrix}); H (k) (\begin{matrix} a (k) \\ b (k) \end{matrix}) = E (k) (\begin{matrix} a (k) \\ b (k) \end{matrix}) .

其能量本征值为：

$E (k) = | ν + e^{- i k} w | = \sqrt{ν^{2} + w^{2} + 2 ν w \cos k} .$

色散关系图为：

可以看出 $ν < ω$ 与 $ν > ω$ 的色散关系相似，但实际二者的拓扑不同。

能隙为 $2 Δ$ ,其中 $Δ$ 为：

$Δ = min_{k} E (k) = | v - w | .$

$\hat{H} (k)$ 作为一个二能级系统总可以当作一个磁场的自旋 $\frac{1}{2}$ 粒子，利用Pauli矩阵改写Hamiltonian：

$H (k) = d_{x} (k) {\hat{σ}}_{x} + d_{y} (k) {\hat{σ}}_{y} + d_{z} (k) {\hat{σ}}_{z} = d_{0} (k) {\hat{σ}}_{0} + d (k) \hat{σ}$

其中 $d (k)$ 相当于一个磁场，其形式为：

$d_{x} (k) = v + w \cos k; d_{y} (k) = w \sin k; d_{z} (k) = 0.$

则本征函数利用二分量旋量表示为：

$| u_{\pm} (k) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ p m e^{i ϕ_{k}} \end{matrix})$

相应的Berry联络为：

A^{\pm} (k) = ⟨ u_{\pm} (k) | i \partial_{k} | u_{\pm} ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm e^{- i ϕ_{k}}) (\begin{matrix} 0 \\ \mp \frac{d ϕ_{k}}{d k} e^{i ϕ_{k}} \end{matrix}) = \frac{1}{2} \frac{d ϕ_{k}}{d k}

利用Berry联络的积分Berry相位可以区分色散关系 $ν < ω$ 与 $ν > ω$ ：

\begin{array}{r} γ = \oint R^{\pm} (k) d k = \oint \frac{1}{2} \frac{d ϕ (k)}{d k} d k = \frac{1}{2} \oint d ϕ = \frac{ϕ (π) - ϕ (- π)}{2} = 0 \end{array}

$k$ 转一圈磁场不绕原点转一圈。

\begin{array}{r} γ = \oint R^{\pm} (k) d k = \oint \frac{1}{2} \frac{d ϕ (k)}{d k} d k = \frac{1}{2} \oint d ϕ = \frac{ϕ (π) - ϕ (- π)}{2} = π \end{array}

$k$ 转一圈磁场绕原点转一圈。

拓扑相：由于Berry相在绝热变化下不变，我们可以根据绝热变化下能否互相转化的态进行相分类，此时Berry相起到一个序参量的作用(注意：Berry相并非局域的，这也是拓扑相区别于传统相的特征之一)。

由此我们可以给出SSH model的相图：

缠绕数：由于Berry phase反映的是SSH model 到磁场( $S^{1} \to S^{1}$ ) 的连续映射特征(取周期性边界条件一维链便构成了一维圆环 $S^{1}$ )，即磁场绕原点转圈的次数，这个次数被称为winding number缠绕数 $W$ .

W = \oint \frac{d k}{2 π} {[d (k) \times \frac{d d (k)}{d k}]}_{Z} = 2 \oint \frac{d k}{2 π} H (k) = {\begin{cases} 0 & trivial \\ 1 & non-trivial \end{cases}

手征对称性 $Γ$ 定义为：

$Γ H Γ^{†} = - H$

手征对称性要求 $d_{z} (k) \equiv 0$ ，在手征对称性下 $E_{n}$ 若为系统本征值，则 $- E_{n}$ 必然也是。

如果手征对称性存在，由于 $ε_{\pm} (k) = \pm | d (k) | = \pm \sqrt{d_{x}^{2} (k) + d_{y}^{2} (k)} > 0$ ，绝缘体在 $d$ 空间的圈不能跨过原点，即不绕原点的圈不能连续变形为绕原点的圈。
如果手征对称性破缺 $d_{z} (z) \neq 0$ ，则此时可以通过第三维将不绕原点的圈连续变形为绕原点的圈，如下图所示。